УДК 658.511

Подбор экономико-математической модели для исследования свойств и факторов производства на примере промышленного предприятия

А.С. Жигульская

Рассматривается задача анализа основных факторов экономического роста, которые оказывают влияние на развитие промышленных предприятий. Для её решения используется метод производственных функций. Представлены производственные функции с указанием их основных свойств и характеристик, из которых далее выбирается  одна для решения задачи увеличения эффективности управления предприятием. Предлагаемая производственная функция демонстрируется на примере конкретного предприятия.

Ключевые слова: производственная функция, факторы экономического роста, динамика свойств ресурсов, уравнение регрессии.

Введение

Одной из важных проблем в управлении промышленным предприятием является необходимость рационального ведения хозяйственной деятельности и стремление достичь высокой эффективности использования ресурсов. Поэтому, для эффективного управления предприятием необходимо иметь достоверную информацию о структуре и динамике развития активов, источниках формирования имущества, стоимости финансирования, рациональности использования, оборачиваемости и эффективности использования ресурсов.

Целью является исследование экономико-математических моделей производственных функций, динамика факторов производства, эффективность их использования.

Для достижения поставленной цели был решен ряд задач:

— анализ экономико-математической модели,

— выбор факторов производства,

— исследование динамики эффективности балансовых показателей.

В рамках исследования используются возможности  управления на основе многофакторного, корреляционно-регрессионного и метода на основе производственных функций.

Производственные функции

Подбор факторов производства осуществлялся при помощи анализа производственных функций (ПФ), которые являются математическими моделями крупных производственных объектов – предприятий (фирм), отраслей, региональных и национальных экономик, осуществлялся подбор факторов производства.

Наиболее важными является стоимость основных и оборотных фондов (которые могут быть рассмотрены как совокупно, так и раздельно), её обычно кратко называют «капитал». Труд традиционно рассматривается в качестве второго фактора, также возможно привлечение других факторов (энергия, сырьевые ресурсы и т.д.). Таким образом, эконометрическая задача построения ПФ, зависящей от количества используемого капитал, может быть решена на основе известной динамики капитальных затрат (наряду с другими факторами и выпуском) за наблюдаемый  период.

Для оптимального соотношения труда и капитала на предприятии используются производственные функции, которые представлены в таблице 1. Метод производственных функций можно отнести к «высоким технологиям» количественного экономического анализа. Его применяли в СССР в исследовательских работах и планировании на союзном, региональном и отраслевом уровнях [5]. За последнее время метод ПФ применяется для анализа российской экономики, которая формируется на основе рыночных отношений и частной собственности.

Таблица 1 – Производственные функции

Название функции	Формула	Особенности
Функция Леонтьева	Q = min(x1/a1, x2/a2)	Задает пропорцию, с помощью которой определяется коли-чество затрат каждого вида, необходимое для производ-ства одной единицы выпуска-емой продукции
Функция Алена	Q = a0x1x2– a1x12 – a2x22	Предназначена для представ-ления производственных про-цессов, у которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска
Функция постоянной эластичности замены (ПЭЗ)	Q = (a1x1a3 + a3x2a3)a4	Предназначена для описания двухрежимного производ-ственного процесса, в котором один из режимов харак-теризуется отсутствием за-меняемости факторов, другой – ненулевой постоянной (но не известной заранее) вели-чиной эластичности замены
Функция Кобба-Дугласа	Q = a0x1a1x2a2	Позволяет описать объекты, характеризующиеся неустой-чивым функционированием
Производственная функция ЛП	Q=min(x1/a11,x2/a12)+… …+min(x1/ak1, x2/ak2)	Используется тогда, когда выпуск продукции является результатом одновременного функционирования k переменных
Многорежимная ПФ	Q = (a11x1a0 +a21x2a0)a1 … …(a1nx1a0+a2nx2a0)an	Используется при описании процессов, в которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно меня-ется в зависимости от соотношения факторов

Продолжение таблицы 1

Название функции	Формула	Особенности
Мультипликативная производственная функции	Q= a0 x1a1 x2a2… xnan	Характерны свойства: при отсутствии одного из ресур-сов производство невозмож-но, с ростом ресурсов выпуск растет, с увеличением ресур-сов скорость роста выпуска замедляется, при неограни-ченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограни-ченно растет
Производственная функция с линей-ной эластичностью замены факторов (LES)	Q=x1a0(a1x1 + a2x2)a3	Рекомендуется для описания производственных процессов, у которых возможность замещения вовлекаемых факторов существенно зави-сит от их пропорций
Кусочно-линейная производственная функция	Q=max(bn + a1x1+  a2x2 + +… +anxn)	Возникает как комбинация нескольких линейных произ-водственных функций (техно-логий производства), каждая из которых используется на своем интервале
Производственная функция Солоу	Q= (a1x1a3 + a2x2a4)a5	Позволяет определить оптимальный уровень нормы сбережений, при котором достигается максимальное потребление

Для анализа мелкомасштабного производства, характеризующимся устойчивым функционированием и отсутствием взаимозаменяемости ресурсов применяются производственная функция Леонтьева, Алена [1].

При анализе мелко- и среднемасштабного предприятия, характеризующимся устойчивым функционированием применяются функция постоянной эластичности замены (ПЭЗ) и функция линейного программирования (ЛП) [1].

В случае, когда среднемасштабное предприятие или отрасль, для которых характерна частичная взаимозаменяемость ресурсов, применяют производственную многорежимную функцию, мультипликативную и Кобба-Дугласа [1].

Производственные функции с линейной эластичностью замены факторов (LES), кусочно-линейная и Солоу могут применяться для мелко-, средне- и крупномасштабных предприятий, характеризующимися устойчивым функционированием, частичной взаимозаменяемости ресурсов.

Исследование факторов производственных функций на примере промышленного предприятия

Анализ производственной функции проведен на примере промышленного предприятия ОАО «Челябинский трубопрокатный завод». Расчет ПФ – это поиск оптимума, выбор среди нескольких вариантов, предусматривающих различные сочетания факторов производства, такого, который дает максимально возможный объем выпуска продукции. Исходные данные представлены в таблице 2. Так как исходные данные были взяты из бухгалтерской отчетности ОАО «ЧТПЗ», то шкала оценки выбрана в денежных единицах (тысячи рублей).

Для исследования производственных функций осуществлялся подбор факторов, необходимых для дальнейшего исследования. ПФ Кобба-Дугласа наиболее полно описывает параметры, влияющие на объем производства и прибыль предприятия.

Таблица 2 – Балансовые показатели ОАО «ЧТПЗ»

Дата	Себестоим.	ВнА	ОбА	Валюта баланса	Инвестиции	Фонд оплаты труда
01.04.2011	13 899 720	53 657 772	38 971 271	92 629 043	10 226 630	641 393
01.07.2011	18 889 685	54 109 866	45 938 646	100 048 512	7 419 469	694 652
01.10.2011	15 718 581	53 633 711	44 297 162	97 930 873	2 117 639	664 937
01.01.2012	13 563 020	61 862 357	36 562 835	98 425 192	494 319	678 646
01.04.2012	15 988 268	62 551 143	37 465 900	100 017 043	1 591 851	662 102
01.07.2012	16 814 831	63 005 583	45 682 505	108 688 088	8 671 045	661 257
01.10.2012	17 790 265	62 611 054	43 001 586	105 612 640	3 075 448	646 109
01.01.2013	19 489 038	62 317 820	38 171 987	104 603 174	1 009 466	650 695
01.04.2013	15 728 144	69 745 035	38 171 987	107 917 022	3 313 848	619 314
01.07.2013	18 357 934	70 095 720	41 632 763	111 728 483	3 811 461	656 780
01.10.2013	18 624 055	68 534 469	42 883 611	111 418 080	310 403	764 390
01.01.2014	16 556 285	65 769 670	39 889 534	105 659 204	5 758 876	558 018
01.04.2014	14 446 126	67 176 643	38 131 375	105 308 018	351 186	590 014

Определим, какие из балансовых показателей описывают деятельность предприятия. Для этого проанализируем три варианта, представленные в таблице 3:

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3 – Факторы производства

1 вариант	2 вариант	3 вариант
себестоимость продукции	себестоимость продукции	себестоимость продукции
инвестиции	фонд оплаты труда	внеоборотные активы
оборотные активы	валюта баланса	оборотные активы
фонд оплаты труда		фонд оплаты труда

Выбор себестоимости продукции необходим для уменьшения влияния факторов внешний среды. Одной из наиболее доступных характеристик, связанной с капиталом и определяющей его динамику, являются инвестиции в основной и/или оборотный капитал. Они представляют собой, как правило, реально используемую в производстве часть капитала, а их динамика соответствует  рыночной конъюнктуре. Внеоборотные активы позволяют оценить состояние имущества промышленного предприятия на отчетную дату. Оборотные активы отражают эффективность использования ресурсов в оперативной деятельности предприятия. Валюта баланса характеризует сумму всего имущества организации. Фонд оплаты труда отражает суммарные денежные средства предприятия, израсходованные в течение определенного периода времени на заработную плату, премиальные выплаты, доплаты работникам.

Уравнение Кобба-Дугласа имеет вид:

Q = A∙L^α∙K^β.                                                                                      (1)

Прологарифмируем показатели:

lnQ=lnA+αlnL+βlnK.                                           (2)

Уравнение регрессии имеет вид:

Z= β₀+ β₁W₁ + β₂W₂,                                            (3)

где β₀= lnA, β₁=α, β₂=β, W₁ = lnL, W₂ = lnK.

Сведем в таблицы результаты построения регрессионной модели для 3 случаев. Четвертая таблица результатов дисперсионного анализа содержит оценки параметров регрессии.

Таблица 4 –Результаты дисперсионного анализа

	1 вариант	2 вариант	3 вариант
Масштабирующий коэффициент	0,5523	-12,2443	-9,3532
Инвестиции	-0,0079	—	—
ВнА	—	—	0,522
ОА	0,7778	—	0,8301
Валюта баланса	—	1,201	—
Фонд оплаты труда	0,1908	0,5	0,1542

Составим уравнения регрессии для каждого варианта:

Z₁= 0,5523 – 0,0079W₁ + 0,7778W₂ +0,1908W₃.              (4)

                          Z₂= -12,2443 + 1,201W₁ + 0,5W₂.                                 (5)

                          Z₃= -9,3532 + 0,522W₁ + 0,8301W₂ +0,1542W₃.              (6)

Свободный член β₀ уравнения – значение масштабирующего коэффициента при внеоборотных, оборотных активов, валюте баланса, инвестициях и фонде оплаты труда равных нулю.

Проанализируем коэффициент β₁. Для первого случая он показывает, что при увеличении инвестиций на единицу ожидаемое значение себестоимости, внеоборотных активово и фонда оплаты труда уменьшится на 0,0079. Для второго — при увеличении валюты баланса на единицу ожидаемое значение себестоимости и фонда оплаты труда увеличится на 1,201. Для третьего — при увеличении внеоборотных активов на единицу ожидаемое значение оборотных активов, себестоимости и фонда оплаты труда увеличится на 0522 соответственно.

Анализ коэффициентов β₂иβ₃ проводится аналогично.

В таблице 5 представлены результаты регрессионного анализ, который показывает значения множественного коэффициента корреляции, критерия детерминации (R-квадрат), нормированного коэффициента детерминации, стандартной ошибки для оценки Y и количестве наблюдений.

Таблица 5 – Регрессионная статистика

	1 вариант	2 вариант	3 вариант
Множественный R	0,5531	0,6545	0,6811
R-квадрат	0,3059	0,4284	0,4639
НормированныйR-квадрат	0,0746	0,3141	0,2852
Стандартная ошибка	0,1142	0,0984	0,098
Наблюдения	13	13	13
Средняя ошибка аппроксимации	0,0729	0,0689	0,0672

            Анализ исследуемых вариантов будем проводить с помощью стандартной ошибки, которая указывает отклонение фактических данных от прогнозируемых на основании использования воздействующих факторов, и коэффициента детерминации, который показывает, сколько вариаций могут быть объяснены иными факторами, не включенными в уравнение регрессии.

Стандартная ошибка оценки Z для первого случая она равна 0,1142, для второго — 0,0984, и третьего — 0,098.

Коэффициент детерминации – доля вариации Z, которая объясняется независимой переменной в регрессионной модели – равен 0,3059 для первого случая. Следовательно, 30,59% вариаций себестоимости продукции может быть объяснено количеством использованных инвестиций, оборотных активов и заработной платой. Таким образом, 69,41% вариаций могут быть объяснены иными факторами, не включенными в уравнение регрессии.

Для второго – 42,84% вариаций себестоимости продукции может быть объяснено валютой баланса и фондом оплаты труда.

Для третьего случая 46,39%. Значит, 53,61% вариаций могут быть объяснены иными факторами, не включенными в уравнение регрессии.

Средняя относительная ошибка аппроксимации позволяет оценить среднее отклонение расчетных значений от фактических, в каждом из случаев равна 7,3%, 6,9% и 6,7%. Допустимые значения средней относительной ошибки аппроксимации должны быть не более 10%. Таким образом, можно сделать вывод о том, что модель в каждом из рассмотренных вариантов является достоверной.

Заключение

Таким образом, анализ с помощью производственных функций позволяет выделить и прогнозировать динамику факторов производства.

Следует также отметить, что универсальной модели нет и, вероятно, быть не может, а выбор той или иной функциональной зависимости складывается сугубо под влиянием факторов, обусловленных целями и особенностями условий производства. Поэтому, эффективное планирование производства, прогнозирование выпуска продукции, повышение конкурентоспособности являются одними из главных задач современных предприятий. 

Библиографический список

1. Баев, И.А. К вопросу о выборе производственной функции при оптимизации соотношения труда и капитала./ И.А. Баев, Ю.С. Глазков. – Вестник ЮУрГУ, №8, 2011. – 33с.

2. Ендовицкий, Д.А. Системный подход к экономическому анализу активов хозяйствующего субъека./ Д.А. Ендовицкий. – Экономический анализ: теория и практика, №15, май 2009. – 23с.

3. Куликова, Н.В. Совершенствование управления ресурсами промышленного предприятия на основе использования производственной функции./ Н.В. Куликова. – Ярославль, 2006. – 160 с.

4. Львов, А.Г. Развитие методов построения производственных функций./ А.Г.Львов. – Уфа, 2012. – 180с.

5. Федорова, Е.А. Анализ основных производственных факторов аграрно-промышленного комплекса Тверского региона./ Е.А. Федорова. – Управление экономическими системами. Электронный журнал., 2011. – 193с.